Gedächtnisprotokoll DM08-1: Unterschied zwischen den Versionen

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Gedächtnisprotokoll der Klausur zur DM Veranstaltung im WS07/08 gehalten von [http://www.math.uni-hamburg.de/home/blunck/ Prof. Dr. Andrea Blunck].
== Aufgabe 1 ==
== Aufgabe 1 ==
(4 Punkte)
(4 Punkte)


Z X Z --> Z, f(x,y) = x*y
<math>\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x,y) = xy</math>


Ist f injektiv?
Ist f injektiv?
Ist f surjektiv?
Ist f surjektiv?


== Aufgabe 2 ==
== Aufgabe 2 ==
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Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass


<math>\sum^n_{k=2} \left( \frac{n}{2} \right) = \left( \frac{ {n + 1}}{ {n - 2} } \right) \mbox{ für } n >= 2</math>
<math>\sum^n_{k=2} \left( \begin{array}{c}k \\ 2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}n + 1 \\ n - 2 \end{array}\right) \mbox{ für } n >= 2</math>


== Aufgabe 3 ==
== Aufgabe 3 ==
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b) 7 Punkte
b) 7 Punkte
Berechnen Sie die Matrizen AB, BA, BC und CB.
Berechnen Sie, falls möglich, die Matrizen AB, BA, AC und CA.
      
      
<math>A=\left(\begin{array}{cc}(2i & 2+i)\end{array}\right)</math>
<math>A=\left(\begin{array}{cc}2i & 2+i\end{array}\right)</math>


<math>B=\left(\begin{array}{c} i \\1+i\end{array}\right)</math>
<math>B=\left(\begin{array}{c} i \\1+i\end{array}\right)</math>
<math>C=\left(\begin{array}{cc}1 &-4\\1 & i\end{array}\right)</math>
<math>C=\left(\begin{array}{cc}1 &-4\\1 & i\end{array}\right)</math>
Schreiben Sie dabei die Einträge der Matrizen jeweils in der Form <math>a+bi</math>


== Aufgabe 4 ==
== Aufgabe 4 ==
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b) 8 Punkte
b) 8 Punkte
Zeigen Sie das der ggt(168, 517)=1 ist und berechnen Sie das Inverse von 168 in Z517
Zeigen Sie mit dem euklidischen Algorithmus, dass ggT(168, 517)=1 ist und berechnen Sie anschließend das multiplikative Inverse von 168 in Z517.


== Aufgabe 5 ==
(10 Punkte)
Sei G ein Graph und jede 2-elementige Teilmenge von M = {a,b,c,d,e,f} ein Knoten. Zwei Knoten sind genau dann miteinander verbunden, wenn die entsprechenden Teilmengen von M disjunkt sind (also einen leeren Durchschnitt haben).


== Aufgabe 5 ==
a) (2 Punkte) Wieviele Knoten hat G?
(grob)
Sei G ein Graph und jede zweielementige Teilmenge von M = {a,b,c,d,e,f} ein Knoten. Zwei Knoten sind miteinander verbunden, wenn die jeweiligen Teilmengen von M disjunkt sind (einen leeren Schnitt haben).


a) Wieviele Knoten hat G?
b) (3 Punkte) Zeigen sie, dass für alle Knoten gilt: d(v) = 6


b) Zeigen sie dass für alle Knoten gilt: d(v) = 6
c) (2 Punkte) Besitzt G eine Eulersche Linie?


c) Hat G eine eulersche Linie?
d) (3 Punkte) Wieviele Kanten hat G?


d) Wieviele Kanten hat G?
Hinweis: Für c) und d) können Sie die Aussage aus b) verwenden.


== Aufgabe 6 ==
== Aufgabe 6 ==
(8 Punkte)
(8 Punkte)
Lösen Sie folgende Rekursion:
Lösen Sie folgende Rekursion:
<pre>
u0 = 0
u1 = 14
un+2 = -3un+1 + 10un
</pre>


<math>u_{0} = 0</math>
<math>u_{1} = 14</math>
<math>u_{n+2} = -3u_{n+1} + 10u_n</math> <math>(n >= 0)</math>


== Aufgabe 7 ==
== Aufgabe 7 ==
Zeile 67: Zeile 73:


a) 2 Punkte
a) 2 Punkte
Bestimmen Sie alle a für die v1=(1,a) und v2=(2,3) linear abhängig sind.
Bestimmen Sie alle a für die v<math>_1</math>=(1,a) und v<math>_2</math>=(2,3) linear abhängig sind.


b) 8 Punkte
b) 8 Punkte
f(x1, x2, x3) = (x1 + 3x2, x1, 3x2)
f(x<math>_1</math>, x<math>_2</math>, x<math>_3</math>) = (x<math>_1</math> + 3x<math>_2</math>, x<math>_1</math>, 3x<math>_2</math>)


Geben sie die zugehörige Matrix für f an. Berechnen Sie rgf und Kernf. Geben Sie je eine Basis vom Kernf und Bildf an.
Geben sie die zugehörige Matrix A an. Berechnen Sie rgf und Kernf. Geben Sie je eine Basis für Kernf und Bildf an.


== Aufgabe 8 ==
== Aufgabe 8 ==
Zeile 79: Zeile 85:
Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus.
Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus.


<pre>
<math>
x1 + 2x2 - 3x3 + 2x4 = 2
\begin{array}{rcrcrcrcr}
2x1 + 5x2 - 8x3 + 6x4 = 5
x_1 &+& 2x_2 &-& 3x_3 &+& 2x_4 &=& 2\\
3x1 + 4x2 - 5x3 + 2x4 = 4
2x_1 &+& 5x_2 &-& 8x_3 &+& 6x_4 &=& 5\\
</pre>
3x_1 &+& 4x_2 &-& 5x_3 &+& 2x_4 &=& 4\\
 
\end{array}
 
</math>


[[Kategorie:Gedaechtnisprotokoll]]
[[Kategorie:Gedaechtnisprotokoll|DM]]

Aktuelle Version vom 8. Juni 2012, 17:05 Uhr

Gedächtnisprotokoll der Klausur zur DM Veranstaltung im WS07/08 gehalten von Prof. Dr. Andrea Blunck.


Aufgabe 1[Bearbeiten]

(4 Punkte)

<math>\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x,y) = xy</math>

Ist f injektiv? Ist f surjektiv?

Aufgabe 2[Bearbeiten]

(7 Punkte)

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass

<math>\sum^n_{k=2} \left( \begin{array}{c}k \\ 2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}n + 1 \\ n - 2 \end{array}\right) \mbox{ für } n >= 2</math>

Aufgabe 3[Bearbeiten]

(10 Punkte)

a) 3 Punkte Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil.

<math>z = {{11-8i}\over{-4+2i}}</math>

b) 7 Punkte Berechnen Sie, falls möglich, die Matrizen AB, BA, AC und CA.

<math>A=\left(\begin{array}{cc}2i & 2+i\end{array}\right)</math>

<math>B=\left(\begin{array}{c} i \\1+i\end{array}\right)</math>

<math>C=\left(\begin{array}{cc}1 &-4\\1 & i\end{array}\right)</math>

Schreiben Sie dabei die Einträge der Matrizen jeweils in der Form <math>a+bi</math>

Aufgabe 4[Bearbeiten]

(11 Punkte)

a) 3 Punkte Berechnen Sie das multiplikative Inverse von a=19 und b=16 in Z20

b) 8 Punkte Zeigen Sie mit dem euklidischen Algorithmus, dass ggT(168, 517)=1 ist und berechnen Sie anschließend das multiplikative Inverse von 168 in Z517.

Aufgabe 5[Bearbeiten]

(10 Punkte) Sei G ein Graph und jede 2-elementige Teilmenge von M = {a,b,c,d,e,f} ein Knoten. Zwei Knoten sind genau dann miteinander verbunden, wenn die entsprechenden Teilmengen von M disjunkt sind (also einen leeren Durchschnitt haben).

a) (2 Punkte) Wieviele Knoten hat G?

b) (3 Punkte) Zeigen sie, dass für alle Knoten gilt: d(v) = 6

c) (2 Punkte) Besitzt G eine Eulersche Linie?

d) (3 Punkte) Wieviele Kanten hat G?

Hinweis: Für c) und d) können Sie die Aussage aus b) verwenden.

Aufgabe 6[Bearbeiten]

(8 Punkte) Lösen Sie folgende Rekursion:

<math>u_{0} = 0</math>

<math>u_{1} = 14</math>

<math>u_{n+2} = -3u_{n+1} + 10u_n</math> <math>(n >= 0)</math>

Aufgabe 7[Bearbeiten]

(10 Punkte)

a) 2 Punkte Bestimmen Sie alle a für die v<math>_1</math>=(1,a) und v<math>_2</math>=(2,3) linear abhängig sind.

b) 8 Punkte f(x<math>_1</math>, x<math>_2</math>, x<math>_3</math>) = (x<math>_1</math> + 3x<math>_2</math>, x<math>_1</math>, 3x<math>_2</math>)

Geben sie die zugehörige Matrix A an. Berechnen Sie rgf und Kernf. Geben Sie je eine Basis für Kernf und Bildf an.

Aufgabe 8[Bearbeiten]

(11 Punkte)

Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus.

<math> \begin{array}{rcrcrcrcr} x_1 &+& 2x_2 &-& 3x_3 &+& 2x_4 &=& 2\\ 2x_1 &+& 5x_2 &-& 8x_3 &+& 6x_4 &=& 5\\ 3x_1 &+& 4x_2 &-& 5x_3 &+& 2x_4 &=& 4\\ \end{array} </math>