Gedächtnisprotokoll STO09-2
Die Klausur von Herrn Drees fand am 6.10.2009 im Zeitraum von 9.00 bis 12.00 Uhr statt. Die Bearbeitungszeit war 120 Minuten. Als Hilfsmittel waren nur nicht-programmierbare Taschenrechner erlaubt. Skripte, Notizen oder Bücher waren nicht erlaubt.
Mengenbeziehung
Seien <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> drei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass <math>P(A) = 0,4 </math>, <math> P(A \cap C) = 0,1 </math>,<math>P(C \backslash (A \cup B))</math> und <math>P(B) = 0,2 </math>. Berechnen Sie (möglichst scharfe) untere und obere Schranke für die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
- a) <math>P((A \cup B \cup C)^c)</math>
- b) <math>P(A \cap B \cap C) </math>
- c) <math>P(A \backslash (B \cup C) </math>
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Zwei Würfel werden geworfen, Ereignis A "erste Augenzahl ist ungerade" und Ereignis B "Summe der Augenzahlen ist kleiner gleich 5".
- a) Geben sie die Verteilungen von A und B an, sind die Ereignisse stochastisch unabhängig?
- b) Geben sie die Wahrscheinlichkeit <math>P(B|A)</math> an.
Approximation
Bundestagswahl. Für Partei A stimmen 45%, B 35% und C 20% der Bevölkerung.Es werden 1000 Personen befragt! Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die Hälfte der Befragten für Partei A stimmen.
- a) Geben sie eine nicht numerische Form an!
- b) Appoximieren sie!
Stochastische Unabhängigkeit
Sei <math>X</math> eine <math>\lbrace 1, 2 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable und <math>Y</math> eine <math>\lbrace 1, 2, 3 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable. In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten <math>P\lbrace X = x, Y = y \rbrace</math> gegeben.
| Y = 1 | Y = 2 | Y = 3 | |
|---|---|---|---|
| X = 1 | 0,3 | 0,4 | a |
| X = 2 | 0,1 | b | c |
- a) Geben Sie für a,b,c Wahrscheinlichkeiten an, sodass X und Y stochastisch unabhängig sind.
- b) Ergänzen!
Gemeinsame Verteilungsfunktion
Gegen war eine gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y. <math>f_{x,y}(x, y) = 9(xy)^{-4}1_{(0,\infty]}(x)1_{(0,\infty]}(y), x,y \in R</math>
- a) Sind X und Y stochastisch unabhängig? Begründen Sie.
- b) Zeigen sie das die Verteilungsfunktion von X <math>f_{x}(x) = 3x^{-4}1_{(0,\infty]}(x), x \in R</math> ist.
- x) Berechnen Sie E(X),Var(X) und Cov(X,Y).
<math>\chi^2</math>-Test
Es wurde gewürfelt, gegeben war eine Verteilungstabelle.
- a) Würde die Hypothese, dass der Würfel fair ist angenommen werden?