Gedächtnisprotokoll DM08-1

Aufgabe 1

(4 Punkte)

Z X Z --> Z, f(x,y) = x*y

Ist f injektiv? Ist f surjektiv?

Aufgabe 2

(7 Punkte)

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass

<math>\sum^n_{k=2} \left( \frac{k}{2} \right) = \left( \frac{ {n + 1}}{ {n - 2} } \right) \mbox{ für } n >= 2</math>

(Anmerkung: Es handelt sich hier nicht um Brüche, sondern um Binomialkoeffizienten (schlecht geteXt ;))

Aufgabe 3

(10 Punkte)

a) 3 Punkte Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil.

<math>z = {{11-8i}\over{-4+2i}}</math>

b) 7 Punkte Berechnen Sie, falls möglich, die Matrizen AB, BA, AC und CA.

<math>A=\left(\begin{array}{cc}2i & 2+i\end{array}\right)</math>

<math>B=\left(\begin{array}{c} i \\1+i\end{array}\right)</math>

<math>C=\left(\begin{array}{cc}1 &-4\\1 & i\end{array}\right)</math>

Schreiben Sie dabei die Einträge der Matrizen jeweils in der Form <math>a+bi</math>

Aufgabe 4

(11 Punkte)

a) 3 Punkte Berechnen Sie das multiplikative Inverse von a=19 und b=16 in Z20

b) 8 Punkte Zeigen Sie mit dem euklidischen Algorithmus, dass ggT(168, 517)=1 ist und berechnen Sie anschließend das multiplikative Inverse von 168 in Z517.

Aufgabe 5

(10 Punkte) Sei G ein Graph und jede 2-elementige Teilmenge von M = {a,b,c,d,e,f} ein Knoten. Zwei Knoten sind genau dann miteinander verbunden, wenn die entsprechenden Teilmengen von M disjunkt sind (also einen leeren Durchschnitt haben).

a) (2 Punkte) Wieviele Knoten hat G?

b) (3 Punkte) Zeigen sie, dass für alle Knoten gilt: d(v) = 6

c) (2 Punkte) Besitzt G eine Eulersche Linie?

d) (3 Punkte) Wieviele Kanten hat G?

Hinweis: Für c) und d) können Sie die Aussage aus b) verwenden.

Aufgabe 6

(8 Punkte) Lösen Sie folgende Rekursion:

<math>u_{0} = 0</math>

<math>u_{1} = 14</math>

<math>u_{n+2} = -3u_{n+1} + 10u_n</math>

Aufgabe 7

(10 Punkte)

a) 2 Punkte Bestimmen Sie alle a für die v1=(1,a) und v2=(2,3) linear abhängig sind.

b) 8 Punkte f(x1, x2, x3) = (x1 + 3x2, x1, 3x2)

Geben sie die zugehörige Matrix für f an. Berechnen Sie rgf und Kernf. Geben Sie je eine Basis vom Kernf und Bildf an.

Aufgabe 8

(11 Punkte)

Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus.

x1 + 2x2 - 3x3 + 2x4 = 2
2x1 + 5x2 - 8x3 + 6x4 = 5
3x1 + 4x2 - 5x3 + 2x4 = 4