Gedächtnisprotokoll DM08-1: Unterschied zwischen den Versionen
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x &+& 2x^2 &-& 3x^3 &+& 2x^4 &=& 2\\ | |||
2x &+& 5x^2 &-& 8x^3 &+& 6x^4 &=& 5\\ | |||
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Version vom 28. Februar 2008, 12:13 Uhr
Gedächtnisprotokoll der Klausur zur DM Veranstaltung im WS07/08 gehalten von Prof. Dr. Andrea Blunck.
Aufgabe 1
(4 Punkte)
<math>\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x,y) = xy</math>
Ist f injektiv? Ist f surjektiv?
Aufgabe 2
(7 Punkte)
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass
<math>\sum^n_{k=2} \left( \begin{array}{c}k \\ 2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}n + 1 \\ n - 2 \end{array}\right) \mbox{ für } n >= 2</math>
Aufgabe 3
(10 Punkte)
a) 3 Punkte Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil.
<math>z = {{11-8i}\over{-4+2i}}</math>
b) 7 Punkte Berechnen Sie, falls möglich, die Matrizen AB, BA, AC und CA.
<math>A=\left(\begin{array}{cc}2i & 2+i\end{array}\right)</math>
<math>B=\left(\begin{array}{c} i \\1+i\end{array}\right)</math>
<math>C=\left(\begin{array}{cc}1 &-4\\1 & i\end{array}\right)</math>
Schreiben Sie dabei die Einträge der Matrizen jeweils in der Form <math>a+bi</math>
Aufgabe 4
(11 Punkte)
a) 3 Punkte Berechnen Sie das multiplikative Inverse von a=19 und b=16 in Z20
b) 8 Punkte Zeigen Sie mit dem euklidischen Algorithmus, dass ggT(168, 517)=1 ist und berechnen Sie anschließend das multiplikative Inverse von 168 in Z517.
Aufgabe 5
(10 Punkte) Sei G ein Graph und jede 2-elementige Teilmenge von M = {a,b,c,d,e,f} ein Knoten. Zwei Knoten sind genau dann miteinander verbunden, wenn die entsprechenden Teilmengen von M disjunkt sind (also einen leeren Durchschnitt haben).
a) (2 Punkte) Wieviele Knoten hat G?
b) (3 Punkte) Zeigen sie, dass für alle Knoten gilt: d(v) = 6
c) (2 Punkte) Besitzt G eine Eulersche Linie?
d) (3 Punkte) Wieviele Kanten hat G?
Hinweis: Für c) und d) können Sie die Aussage aus b) verwenden.
Aufgabe 6
(8 Punkte) Lösen Sie folgende Rekursion:
<math>u_{0} = 0</math>
<math>u_{1} = 14</math>
<math>u_{n+2} = -3u_{n+1} + 10u_n</math> <math>(n >= 0)</math>
Aufgabe 7
(10 Punkte)
a) 2 Punkte Bestimmen Sie alle a für die v1=(1,a) und v2=(2,3) linear abhängig sind.
b) 8 Punkte f(x1, x2, x3) = (x1 + 3x2, x1, 3x2)
Geben sie die zugehörige Matrix A an. Berechnen Sie rgf und Kernf. Geben Sie je eine Basis für Kernf und Bildf an.
Aufgabe 8
(11 Punkte)
Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus.
<math> \begin{array}{rcrcrcrcr} x &+& 2x^2 &-& 3x^3 &+& 2x^4 &=& 2\\ 2x &+& 5x^2 &-& 8x^3 &+& 6x^4 &=& 5\\ 3x &+& 4x^2 &-& 5x^3 &+& 2x^4 &=& 4\\ \end{array} </math>