Gedächtnisprotokoll STO09-2

Die Klausur von Herrn Drees fand am 6.10.2009 im Zeitraum von 9.00 bis 12.00 Uhr statt. Die Bearbeitungszeit war 120 Minuten. Als Hilfsmittel waren nur nicht-programmierbare Taschenrechner erlaubt. Skripte, Notizen oder Bücher waren nicht erlaubt.

Mengenbeziehung

Seien <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> drei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass <math>P(A) = 0,4 </math>, <math> P(A \cap C) = 0,1 </math>,<math>P(C \backslash (A \cup B))</math> und <math>P(B) = 0,2 </math>. Berechnen Sie (möglichst scharfe) untere und obere Schranke für die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

• a) <math>P((A \cup B \cup C)^c)</math>
• b) <math>P(A \cap B \cap C) </math>
• c) <math>P(A \backslash (B \cup C) </math>

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Ein fairer Würfel werde zweimail geworfen. Sei A das Ereignis, dass die Augensumme höchstens 5 beträgt, und B das Ereignis, dass mindestens eine der Augenzahlen ungerade ist. Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(B|A)</math> ! Sind A und B stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort!

Approximation

Bundestagswahl. Für Partei A stimmen 45%, B 35% und C 20% der Bevölkerung.Es werden 1000 Personen befragt! Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die Hälfte der Befragten für Partei A stimmen.

• a) Geben sie eine nicht numerische Form an!
• b) Appoximieren sie!

Stochastische Unabhängigkeit

Sei <math>X</math> eine <math>\lbrace 1, 2 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable und <math>Y</math> eine <math>\lbrace 1, 2, 3 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable. In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten <math>P\lbrace X = x, Y = y \rbrace</math> gegeben.

	Y = 1	Y = 2	Y = 3
X = 1	0,1	0,3	a
X = 2	0,08	c	b

• a) Geben Sie für a,b,c Wahrscheinlichkeiten an, sodass X und Y stochastisch unabhängig sind.
• b) Geben Sie dann auch die Zähldichte von X und Y an!

Gemeinsame Verteilungsfunktion

Gegen war eine gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y. <math>f_{x,y}(x, y) = 9(xy)^{-4}1_{[1,\infty)}(x)1_{[1,\infty)}(y), x,y \in R</math>

• a) Sind X und Y stochastisch unabhängig? Begründen Sie.
• b) Zeigen sie das die Verteilungsfunktion von X <math>f_{x}(x) = 3x^{-4}1_{[1,\infty)}(x), x \in R</math> ist.
• x) Berechnen Sie E(X),Var(X) und Cov(X,Y).

<math>\chi^2</math>-Test

Ein Würfel wird n = 100 mal geworfen und für <math>1 \le k \le 6</math> die Häufigkeit <math>n_k</math> notiert, mit der die Augenzahl k fällt.

• a) Geben SIe eine erwartungstreuen Schätzer für die erwartete Augenzahl (bei einem Wurf) an! Berechnen Sie seinen mittleren quadratischen Fehler unter der Annahme, dass der Würfel fair ist!

• b) Konkret werden die folgenden Häufigkeiten beobachtet:

k	1	2	3	4	5	6
<math>n_k</math>	12	17	14	19	21	17

Testen Sie zum Niveau 5% die Hypothese, dass der Würfel fair ist!