Gedächtnisprotokoll STO09-2: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Klausur von Herrn Drees fand am 6.10.2009 im Zeitraum von 9.00 bis 12.00 Uhr statt. Die Bearbeitungszeit war 120 Minuten. Als Hilfsmittel waren nur nicht-programmierbare Taschenrechner erlaubt. Skripte, Notizen oder Bücher waren nicht erlaubt.  
Die Klausur von Herrn Drees fand am 6.10.2009 im Zeitraum von 9.00 bis 12.00 Uhr statt. Die Bearbeitungszeit war 120 Minuten. Als Hilfsmittel waren nur nicht-programmierbare Taschenrechner erlaubt. Skripte, Notizen oder Bücher waren nicht erlaubt.  


== Aufgabe 1) ==
== Mengenbeziehung ==


Seien <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> drei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass <math>P(A \cap C) = 0,1</math>, rest der Wahrscheinlichkeiten nachtragen!! . Berechnen Sie möglichst genaue Grenzen?
Seien <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> drei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass <math>P(A) = 0,4 </math>, <math> P(A \cap C) = 0,1 </math>,<math>P(C \backslash (A \cup B))</math> und <math>P(B) = 0,2 </math>. Berechnen Sie (möglichst scharfe) untere und obere Schranke für die folgenden Wahrscheinlichkeiten:


* a) <math>P((A \cup B \cup C)^c)</math>  
* a) <math>P((A \cup B \cup C)^c)</math>  
* b) <math>P(A \cap B \cap C) </math>
* b) <math>P(A \cap B \cap C) </math>
* c) ergänzen!
* c) <math>P(A \backslash (B \cup C) </math>


== Bedingte Wahrscheinlichkeiten ==
== Bedingte Wahrscheinlichkeiten ==
Zwei Würfel werden geworfen, Ereignis A "erste Augenzahl ist ungerade" und Ereignis B "Summe der Augenzahlen ist kleiner gleich 5".
Ein fairer Würfel werde zweimail geworfen. Sei A das Ereignis, dass die Augensumme höchstens 5 beträgt, und B das Ereignis, dass mindestens eine der Augenzahlen ungerade ist. Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(B|A)</math> ! Sind A und B stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort!
* a) Geben sie die Verteilungen von A und B an, sind die Ereignisse stochastisch unabhängig?
* b) Geben sie die Wahrscheinlichkeit <math>P(B|A)</math> an.


== Approximation ==
== Approximation ==


Bundestagswahl. Für Partei A stimmen 45%, B 35% und C 15% der Bevölkerung.Es werden 1000 Personen befragt! Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die Hälfte der Befragten für Partei A stimmen.
Bundestagswahl. Für Partei A stimmen 45%, B 35% und C 20% der Bevölkerung.Es werden 1000 Personen befragt! Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die Hälfte der Befragten für Partei A stimmen.


* a) Geben sie eine nicht numerische Form an!
* a) Geben sie eine nicht numerische Form an!
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Sei <math>X</math> eine <math>\lbrace 1, 2 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable und <math>Y</math> eine <math>\lbrace 1, 2, 3 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable. In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten <math>P\lbrace X = x, Y = y \rbrace</math> gegeben.
Sei <math>X</math> eine <math>\lbrace 1, 2 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable und <math>Y</math> eine <math>\lbrace 1, 2, 3 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable. In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten <math>P\lbrace X = x, Y = y \rbrace</math> gegeben.


*a) Geben Sie für a,b,c Wahrscheinlichkeiten an, sodass X und Y stochastisch unabhängig sind.
{| cellpadding="20" cellspacing="0" border="1"
*b) Ergänzen!
|-
!        !! Y = 1  !!  Y = 2  !!  Y = 3
|- 
| X = 1 || 0,1 || 0,3 || a
|-
| X = 2 || 0,08 || c || b
|}
 
 
 


== Aufgabe 5) ==
* a) Geben Sie für a,b,c Wahrscheinlichkeiten an, sodass X und Y stochastisch unabhängig sind.
* b) Geben Sie dann auch die Zähldichte von X und Y an!


Gegen war eine gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y. <math>f_{x,y}(x, y) = 9c(x,y)^?</math>
== Gemeinsame Verteilungsfunktion ==
a.) Zeigen sie das die Verteilungsfunktion von X <math>f_{x}(x) = 3cx^?</math> ist.
b.) Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Kovanianz von X.
c.) Bestimmen sie den mittleren quadratischen Fehler.


== Aufgabe 6) ==
Gegen war eine gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y. <math>f_{x,y}(x, y) = 9(xy)^{-4}1_{[1,\infty)}(x)1_{[1,\infty)}(y), x,y \in R</math>
Es wurde gewürfelt, gegeben war eine Verteilungstabelle.
* a) Sind X und Y stochastisch unabhängig? Begründen Sie.
a) Würde die Hypothese, dass der Würfel fair ist angenommen werden?
* b) Zeigen sie das die Verteilungsfunktion von X <math>f_{x}(x) = 3x^{-4}1_{[1,\infty)}(x), x \in R</math> ist.
* x) Berechnen Sie E(X),Var(X) und Cov(X,Y).
 
== <math>\chi^2</math>-Test ==
Ein Würfel wird n = 100 mal geworfen und für <math>1 \le k \le 6</math> die Häufigkeit <math>n_k</math> notiert, mit der die Augenzahl k fällt.
 
* a) Geben SIe eine erwartungstreuen Schätzer für die erwartete Augenzahl (bei einem Wurf) an! Berechnen Sie seinen mittleren quadratischen Fehler unter der Annahme, dass der Würfel fair ist!
 
* b) Konkret werden die folgenden Häufigkeiten beobachtet:
 
{| cellpadding="20" cellspacing="0" border="1"
|-
|  '''k'''    || 1  ||  2  ||  3 || 4 || 5 || 6
|- 
| '''<math>n_k</math>''' || 12 || 17 || 14 || 19 || 21 || 17
|}
 
Testen Sie zum Niveau 5% die Hypothese, dass der Würfel fair ist!
 
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Aktuelle Version vom 8. Juni 2012, 17:09 Uhr

Die Klausur von Herrn Drees fand am 6.10.2009 im Zeitraum von 9.00 bis 12.00 Uhr statt. Die Bearbeitungszeit war 120 Minuten. Als Hilfsmittel waren nur nicht-programmierbare Taschenrechner erlaubt. Skripte, Notizen oder Bücher waren nicht erlaubt.

Mengenbeziehung[Bearbeiten]

Seien <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> drei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass <math>P(A) = 0,4 </math>, <math> P(A \cap C) = 0,1 </math>,<math>P(C \backslash (A \cup B))</math> und <math>P(B) = 0,2 </math>. Berechnen Sie (möglichst scharfe) untere und obere Schranke für die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

  • a) <math>P((A \cup B \cup C)^c)</math>
  • b) <math>P(A \cap B \cap C) </math>
  • c) <math>P(A \backslash (B \cup C) </math>

Bedingte Wahrscheinlichkeiten[Bearbeiten]

Ein fairer Würfel werde zweimail geworfen. Sei A das Ereignis, dass die Augensumme höchstens 5 beträgt, und B das Ereignis, dass mindestens eine der Augenzahlen ungerade ist. Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(B|A)</math> ! Sind A und B stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort!

Approximation[Bearbeiten]

Bundestagswahl. Für Partei A stimmen 45%, B 35% und C 20% der Bevölkerung.Es werden 1000 Personen befragt! Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die Hälfte der Befragten für Partei A stimmen.

  • a) Geben sie eine nicht numerische Form an!
  • b) Appoximieren sie!

Stochastische Unabhängigkeit[Bearbeiten]

Sei <math>X</math> eine <math>\lbrace 1, 2 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable und <math>Y</math> eine <math>\lbrace 1, 2, 3 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable. In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten <math>P\lbrace X = x, Y = y \rbrace</math> gegeben.

Y = 1 Y = 2 Y = 3
X = 1 0,1 0,3 a
X = 2 0,08 c b



  • a) Geben Sie für a,b,c Wahrscheinlichkeiten an, sodass X und Y stochastisch unabhängig sind.
  • b) Geben Sie dann auch die Zähldichte von X und Y an!

Gemeinsame Verteilungsfunktion[Bearbeiten]

Gegen war eine gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y. <math>f_{x,y}(x, y) = 9(xy)^{-4}1_{[1,\infty)}(x)1_{[1,\infty)}(y), x,y \in R</math>

  • a) Sind X und Y stochastisch unabhängig? Begründen Sie.
  • b) Zeigen sie das die Verteilungsfunktion von X <math>f_{x}(x) = 3x^{-4}1_{[1,\infty)}(x), x \in R</math> ist.
  • x) Berechnen Sie E(X),Var(X) und Cov(X,Y).

<math>\chi^2</math>-Test[Bearbeiten]

Ein Würfel wird n = 100 mal geworfen und für <math>1 \le k \le 6</math> die Häufigkeit <math>n_k</math> notiert, mit der die Augenzahl k fällt.

  • a) Geben SIe eine erwartungstreuen Schätzer für die erwartete Augenzahl (bei einem Wurf) an! Berechnen Sie seinen mittleren quadratischen Fehler unter der Annahme, dass der Würfel fair ist!
  • b) Konkret werden die folgenden Häufigkeiten beobachtet:
k 1 2 3 4 5 6
<math>n_k</math> 12 17 14 19 21 17

Testen Sie zum Niveau 5% die Hypothese, dass der Würfel fair ist!

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