Gedächtnisprotokoll DM08-1

Gedächtnisprotokoll der Klausur zur DM Veranstaltung im WS07/08 gehalten von Prof. Dr. Andrea Blunck.

Aufgabe 1

(4 Punkte)

<math>\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x,y) = xy</math>

Ist f injektiv? Ist f surjektiv?

Aufgabe 2

(7 Punkte)

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass

<math>\sum^n_{k=2} \left( \begin{array}{c}k \\ 2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}n + 1 \\ n - 2 \end{array}\right) \mbox{ für } n >= 2</math>

Aufgabe 3

(10 Punkte)

a) 3 Punkte Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil.

<math>z = {{11-8i}\over{-4+2i}}</math>

b) 7 Punkte Berechnen Sie, falls möglich, die Matrizen AB, BA, AC und CA.

<math>A=\left(\begin{array}{cc}2i & 2+i\end{array}\right)</math>

<math>B=\left(\begin{array}{c} i \\1+i\end{array}\right)</math>

<math>C=\left(\begin{array}{cc}1 &-4\\1 & i\end{array}\right)</math>

Schreiben Sie dabei die Einträge der Matrizen jeweils in der Form <math>a+bi</math>

Aufgabe 4

(11 Punkte)

a) 3 Punkte Berechnen Sie das multiplikative Inverse von a=19 und b=16 in Z20

b) 8 Punkte Zeigen Sie mit dem euklidischen Algorithmus, dass ggT(168, 517)=1 ist und berechnen Sie anschließend das multiplikative Inverse von 168 in Z517.

Aufgabe 5

(10 Punkte) Sei G ein Graph und jede 2-elementige Teilmenge von M = {a,b,c,d,e,f} ein Knoten. Zwei Knoten sind genau dann miteinander verbunden, wenn die entsprechenden Teilmengen von M disjunkt sind (also einen leeren Durchschnitt haben).

a) (2 Punkte) Wieviele Knoten hat G?

b) (3 Punkte) Zeigen sie, dass für alle Knoten gilt: d(v) = 6

c) (2 Punkte) Besitzt G eine Eulersche Linie?

d) (3 Punkte) Wieviele Kanten hat G?

Hinweis: Für c) und d) können Sie die Aussage aus b) verwenden.

Aufgabe 6

(8 Punkte) Lösen Sie folgende Rekursion:

<math>u_{0} = 0</math>

<math>u_{1} = 14</math>

<math>u_{n+2} = -3u_{n+1} + 10u_n</math> <math>(n >= 0)</math>

Aufgabe 7

(10 Punkte)

a) 2 Punkte Bestimmen Sie alle a für die v<math>_1</math>=(1,a) und v<math>_2</math>=(2,3) linear abhängig sind.

b) 8 Punkte f(x<math>_1</math>, x<math>_2</math>, x<math>_3</math>) = (x<math>_1</math> + 3x<math>_2</math>, x<math>_1</math>, 3x<math>_2</math>)

Geben sie die zugehörige Matrix A an. Berechnen Sie rgf und Kernf. Geben Sie je eine Basis für Kernf und Bildf an.

Aufgabe 8

(11 Punkte)

Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus.

<math> \begin{array}{rcrcrcrcr} x_1 &+& 2x_2 &-& 3x_3 &+& 2x_4 &=& 2\\ 2x_1 &+& 5x_2 &-& 8x_3 &+& 6x_4 &=& 5\\ 3x_1 &+& 4x_2 &-& 5x_3 &+& 2x_4 &=& 4\\ \end{array} </math>