Bearbeiten von „Gedächtnisprotokoll STO09-2“

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Die Klausur von Herrn Drees fand am 6.10.2009 im Zeitraum von 9.00 bis 12.00 Uhr statt. Die Bearbeitungszeit war 120 Minuten. Als Hilfsmittel waren nur nicht-programmierbare Taschenrechner erlaubt. Skripte, Notizen oder Bücher waren nicht erlaubt. 

== Mengenbeziehung ==

Seien <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> drei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass <math>P(A) = 0,4 </math>, <math> P(A \cap C) = 0,1 </math>,<math>P(C \backslash (A \cup B))</math> und <math>P(B) = 0,2 </math>. Berechnen Sie (möglichst scharfe) untere und obere Schranke für die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

* a) <math>P((A \cup B \cup C)^c)</math> 
* b) <math>P(A \cap B \cap C) </math>
* c) <math>P(A \backslash (B \cup C) </math>

== Bedingte Wahrscheinlichkeiten ==
Ein fairer Würfel werde zweimail geworfen. Sei A das Ereignis, dass die Augensumme höchstens 5 beträgt, und B das Ereignis, dass mindestens eine der Augenzahlen ungerade ist. Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(B|A)</math> ! Sind A und B stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort!

== Approximation ==

Bundestagswahl. Für Partei A stimmen 45%, B 35% und C 20% der Bevölkerung.Es werden 1000 Personen befragt! Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die Hälfte der Befragten für Partei A stimmen.

* a) Geben sie eine nicht numerische Form an!
* b) Appoximieren sie!

== Stochastische Unabhängigkeit ==

Sei <math>X</math> eine <math>\lbrace 1, 2 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable und <math>Y</math> eine <math>\lbrace 1, 2, 3 \rbrace</math>-wertige Zufallsvariable. In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten <math>P\lbrace X = x, Y = y \rbrace</math> gegeben.

{| cellpadding="20" cellspacing="0" border="1"
|-
!         !! Y = 1   !!   Y = 2   !!   Y = 3
|-  
| X = 1 || 0,1 || 0,3 || a
|-
| X = 2 || 0,08 || c || b
|}




*a) Geben Sie für a,b,c Wahrscheinlichkeiten an, sodass X und Y stochastisch unabhängig sind.
*b) Geben Sie dann auch die Zähldichte von X und Y an!

== Gemeinsame Verteilungsfunktion ==

Gegen war eine gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y. <math>f_{x,y}(x, y) = 9(xy)^{-4}1_{[1,\infty)}(x)1_{[1,\infty)}(y), x,y \in R</math>
*a) Sind X und Y stochastisch unabhängig? Begründen Sie.
*b) Zeigen sie das die Verteilungsfunktion von X <math>f_{x}(x) = 3x^{-4}1_{[1,\infty)}(x), x \in R</math> ist.
*x) Berechnen Sie E(X),Var(X) und Cov(X,Y).

== <math>\chi^2</math>-Test ==
Ein Würfel wird n = 100 mal geworfen und für <math>1 \le k \le 6</math> die Häufigkeit <math>n_k</math> notiert, mit der die Augenzahl k fällt.

*a) Geben SIe eine erwartungstreuen Schätzer für die erwartete Augenzahl (bei einem Wurf) an! Berechnen Sie seinen mittleren quadratischen Fehler unter der Annahme, dass der Würfel fair ist!

*b) Konkret werden die folgenden Häufigkeiten beobachtet:

{| cellpadding="20" cellspacing="0" border="1"
|-
!   k      !! 1   !!   2   !!   3 !! 4 !! 5 !! 6
|-  
| n_k || 12 || 17 || 14 || 19 || 21 || 17
|}